分组数据的离散量度 · 7.2.1
分组数据的离散量度
学生须求出分组数据的四个离散量度：全距（最高组的上组界减最低组的下组界）、四分位距（Q3 − Q1，可由累积频率曲线读出或用内插法求得）、方差 σ² = Σfx²/Σf − x̄²，以及标准差 σ = √σ²，计算时使用频数表中的组中值 x 与频率 f。
官方学习标准 (7.2.1)
“求出全距、四分位距、方差与标准差，作为描述分组数据离散程度的量度。”
它的含义
学生须求出分组数据的四个离散量度：全距（最高组的上组界减最低组的下组界）、四分位距（Q3 − Q1，可由累积频率曲线读出或用内插法求得）、方差 σ² = Σfx²/Σf − x̄²，以及标准差 σ = √σ²，计算时使用频数表中的组中值 x 与频率 f。
如何考查
主要在第二卷考查：给出分组频数表后，学生须列出组中值、fx 与 fx² 三列以求出平均数、方差与标准差，并用累积频数列（或累积频率曲线）求四分位数与四分位距。第一卷可能只考查单一公式的应用，例如由所给组界求全距。
例题
下表显示苗圃里 30 株植物的高度（cm）：10–19（3）、20–29（7）、30–39（12）、40–49（6）、50–59（2）。求（a）全距，（b）四分位距，（c）方差，（d）这些高度的标准差。
- （a）全距 = 最高组的上组界 − 最低组的下组界 = 59.5 − 9.5 = 50 cm。
- （b）累积频数：3、10、22、28、30（N = 30）。Q1 位于 N/4 = 7.5 处，落在 20–29 组（组界 19.5–29.5）：Q1 = 19.5 + [(7.5 − 3)/7] × 10 = 25.9。
- Q3 位于 3N/4 = 22.5 处，落在 40–49 组（组界 39.5–49.5）：Q3 = 39.5 + [(22.5 − 22)/6] × 10 = 40.3。四分位距 = 40.3 − 25.9 = 14.4 cm。
- （c）组中值 x = 14.5、24.5、34.5、44.5、54.5。Σfx = 1005，所以 x̄ = 1005/30 = 33.5。
- Σfx² = 630.75 + 4201.75 + 14283 + 11881.5 + 5940.5 = 36937.5。
- σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 36937.5/30 − 33.5² = 1231.25 − 1122.25 = 109 cm²。
- （d）σ = √109 ≈ 10.4 cm。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
求全距为什么要用组界而不是组限？
分组数据无法看出真正的最大值和最小值，所以全距是用最后一组的上组界减第一组的下组界来估计的。之所以用组界而不是组限，是因为组界代表数据真正连续的边界，与绘制累积频率曲线和直方图的方式一致。
求方差前一定要先求平均数吗？
需要。即使是简式 σ² = Σfx²/Σf − x̄²，也用到 x̄ = Σfx/Σf，所以要先求平均数，并把未四舍五入的结果留在计算器中，到求方差那一步才平方。
过早把平均数四舍五入，是最终答案不准确的常见原因。
如果数据中有异常高或异常低的一组，该用哪个量度？
在这种情况下，四分位距比全距更可靠，因为它只涵盖数据中间一半，忽略了极端值。标准差依然有用，一般比较时通常更常用，但要记住它会受到每一个数值（包括异常高或异常低的值）影响。