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分组数据的离散量度 · 中五

分组数据的离散量度：例题（KBAT）

不点明方法的真实情境：用中位数与四分位距评估一项服务承诺、由百分位数求录取门槛、以及比较平均值与中位数来描述分布的形状。适合能够判断题目真正需要哪种量度的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一家诊所记录了 60 名病人的等候时间（分钟）：0–9（6）、10–19（14）、20–29（20）、30–39（10）、40–49（6）、50–59（4）。诊所宣传『半数病人在 25 分钟内获得诊治』。

估计等候时间的中位数来检验这一说法，并求四分位距作为一致性的量度。

  1. 『半数病人』指向中位数；一致性指向四分位距。
  2. 累积次数：6、20、40、50、56、60；n = 60。
  3. n ÷ 2 = 30 → 中位数组 20–29（L = 19.5、F = 20、f = 20、c = 10）。
  4. 中位数 = 19.5 + ((30 − 20) ÷ 20) × 10 = 19.5 + 5 = 24.5 分钟。
  5. 24.5 分钟 < 25 分钟，因此数据支持该说法。
  6. Q1 在 n ÷ 4 = 15 → 组别 10–19：Q1 = 9.5 + ((15 − 6) ÷ 14) × 10 = 15.93 分钟。
  7. Q3 在 3n ÷ 4 = 45 → 组别 30–39：Q3 = 29.5 + ((45 − 40) ÷ 10) × 10 = 34.5 分钟。
  8. 四分位距 = 34.5 − 15.93 = 18.57 分钟。

例题 2

一所学校为 50 份作业评分：40–49（4）、50–59（10）、60–69（16）、70–79（12）、80–89（6）、90–99（2）。『优异』颁给前 20% 的作业。

用插值法估计获得优异所需的最低分数。

  1. 前 20% 位于第 80 百分位数之上，因此求 P80（有 80% 作业低于该分数）。
  2. 位置 = 80% × 50 = 0.8 × 50 = 第 40 个值。
  3. 累积次数：4、14、30、42、48、50；第 40 个值落在组别 70–79。
  4. L = 69.5、F = 30、f = 12、c = 10。
  5. P80 = 69.5 + ((40 − 30) ÷ 12) × 10 = 69.5 + 8.33 = 77.83。
  6. 因此作业约需 78 分（77.83 向上取整）才能进入前 20%。

例题 3

一名护林员记录了 32 只巨蜥的质量（kg）：1.0–1.9（8）、2.0–2.9（12）、3.0–3.9（7）、4.0–4.9（3）、5.0–5.9（2）。求估计平均值与中位数，再用它们描述分布的形状。

  1. 组中点 x：1.45、2.45、3.45、4.45、5.45。
  2. Σf = 32；Σfx = 11.6 + 29.4 + 24.15 + 13.35 + 10.9 = 89.4。
  3. 估计平均值 = 89.4 ÷ 32 = 2.79 kg。
  4. 累积次数：8、20、27、30、32；n ÷ 2 = 16 → 中位数组 2.0–2.9。
  5. 中位数 = 1.95 + ((16 − 8) ÷ 12) × 1.0 = 1.95 + 0.67 = 2.62 kg。
  6. 平均值 2.79 > 中位数 2.62，所以分布向右偏斜（少数较重的巨蜥把平均值拉高）。

例题 4

下表列出 A 批 40 个灯泡的寿命（小时）：500–599（4）、600–699（10）、700–799（14）、800–899（8）、900–999（4）。(a) 估计 A 批的平均数和标准差。

(b) B 批平均数相同但标准差为 95 小时。说明哪一批更稳定，并给出理由。

  1. 组中值 x：549.5、649.5、749.5、849.5、949.5；Σf = 40。
  2. Σfx = 4(549.5) + 10(649.5) + 14(749.5) + 8(849.5) + 4(949.5) = 29 780，所以平均数 = 29 780/40 = 744.5 小时。
  3. Σfx² = 22 670 210；方差 = 22 670 210/40 − 744.5² = 566 755.25 − 554 280.25 = 12 475。
  4. A 批标准差 = √12 475 = 111.69 ≈ 111.7 小时。
  5. (b) B 批标准差（95 小时）小于 A 批（111.7 小时），所以 B 批更稳定，因为标准差越小表示寿命越不分散。

例题 5

某考试有 80 名考生，分数分组：30–39（6）、40–49（14）、50–59（22）、60–69（20）、70–79（12）、80–89（6）。只有成绩最高的 15% 考生获颁优异奖。

用内插法求获奖所需的最低分数，再向上取整到最接近的整数分。

  1. 最高的 15% 从第 85 百分位数开始，位置为 0.85 × 80 = 从下往上第 68 个数据。
  2. 累积频率：6、20、42、62、74、80；第 68 个数据落在组 70–79（其前累积频率 = 62）。
  3. 该组：L = 69.5，前累积频率 F = 62，频率 f = 12，组距 c = 10。
  4. P₈₅ = 69.5 + ((68 − 62)/12) × 10 = 69.5 + 5 = 74.5，所以最低整数分为 75。

例题 6

对 60 户家庭的调查记录了拥有的电子设备数量，分组为：0–4（8）、5–9（p）、10–14（18）、15–19（q）、20–24（6）。估计的平均设备数为 11。

求 p 和 q 的值。

  1. 总频率：8 + p + 18 + q + 6 = 60，所以 p + q = 28。……(1)
  2. 组中值：2、7、12、17、22；Σfx = 8(2) + 7p + 18(12) + 17q + 6(22) = 364 + 7p + 17q。
  3. 平均数 = 11 表示 Σfx = 11 × 60 = 660，所以 364 + 7p + 17q = 660，得 7p + 17q = 296。……(2)
  4. 由 (1)，p = 28 − q；代入 (2)：7(28 − q) + 17q = 296 → 196 + 10q = 296 → q = 10，再得 p = 18。

例题 7

某工厂记录了100批产品中每批出现的次品数量：0–4(10批),5–9(p批),10–14(34批),15–19(q批),20–24(8批)。每批次品数量的中位数为12。

求p和q的值。

  1. 总频数：10+p+34+q+8 = 100 → p+q = 48。
  2. 中位数(第50个数据)落在10–14组(L = 9.5,F = 10+p,f = 34,c = 5)。
  3. 应用中位数公式：12 = 9.5 + [(50 − (10+p))/34] × 5 → 2.5 = [(40−p)/34] × 5。
  4. (40−p)/34 = 0.5 → 40−p = 17 → p = 23。
  5. 由p+q = 48:q = 48 − 23 = 25。

例题 8

某驾驶学校记录了60名学员在通过考试之前所需的学时：5–9(6人),10–14(14人),15–19(22人),20–24(12人),25–29(6人)。估计需要超过18小时的学员人数，并将其表示为所有学员的百分比。

  1. 到14.5(10–14组结束处)为止的累积频数 = 6+14 = 20。
  2. 在15–19组内(组界14.5–19.5，频数22)，低于18的比例为(18−14.5)/(19.5−14.5) = 3.5/5 = 0.7，即该组内约有0.7 × 22 = 15.4名学员低于18小时。
  3. 因此低于18小时的人数 ≈ 20 + 15.4 = 35.4，意味着超过18小时的人数 ≈ 60 − 35.4 = 24.6 ≈ 25人。
  4. 百分比 = (24.6/60) × 100% ≈ 41%。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

KBAT 题目在分组离散量上多提出了什么要求？

KBAT 题目通常会给出两组分组数据，比如两个班的考试成绩，或两家工厂的产量，要求你比较它们的离散程度，而不只是计算。你要分别算出诸如标准差或四分位距这样的量，然后写一句结论，把较小的数值和更稳定、变化更小联系起来。

考官在 KBAT 比较题的答案里看重什么？

两组数据都要有完整且标注清楚的计算，之后要用实际数字明确写出比较的结论，例如指出哪一组的标准差较小，并说明这在情境中代表什么。只有计算没有结论句，或者有结论却没有数字支撑，都会被扣分。

学生在这类 KBAT 题目中容易在哪里栽跟头？

两组的量都算对了，却忘了用文字比较；把哪个量代表更稳定搞反了（离散程度较小才是更稳定，而不是较大的那个）；以及中间数值取整太早，导致比较结果出现偏差。要始终把最终的数字和题目问的实际情境联系起来。

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