公式表
方差（分组数据）
两种形式 σ² = Σf(x−x̄)²/Σf = Σfx²/Σf − x̄² 都印在 SPM 公式表上。你必须先求 x̄，列出 fx² 一列（频率乘以 x 的平方），并且明白 Σfx² 指的是 Σ(f·x²)，先把 x 平方，再乘以 f。
σ2 = Σf(x−x̄)2 / Σf = Σfx2/Σf − x̄2
考试提供符号的含义
- σ² 分组数据的方差，单位为平方单位
- f 每个值或每一组的频率
- x 每个值，或每个组的组中值
- x̄ 分组数据的平均数
- Σf 总频率（数据总个数）
- Σfx² 每个 频率 × 值² 的总和（即 Σ(f·x²)）
考试提供，还是要记？
两种形式 σ² = Σf(x−x̄)²/Σf = Σfx²/Σf − x̄² 都印在 SPM 公式表上。你必须先求 x̄，列出 fx² 一列（频率乘以 x 的平方），并且明白 Σfx² 指的是 Σ(f·x²)，先把 x 平方，再乘以 f。
为什么成立
它就是按频率加权的未分组方差：每个平方离差都计入 f 次，因为该值出现了 f 次。
- 先求分组平均数 x̄ = Σfx / Σf。
- 对每一行，把离差平方 (x − x̄)² 再乘以频率 f，然后相加得到 Σf(x−x̄)²。
- 除以总频率 Σf。
- 展开后得到更快的简式 Σfx²/Σf − x̄²，只需 fx² 那一列和平均数。
例题 1
一个频率表：x = 1、2、3、4，对应频率 f = 2、3、4、1。求方差。
- 总频率：Σf = 2 + 3 + 4 + 1 = 10。
- 先求平均数：Σfx = (1×2)+(2×3)+(3×4)+(4×1) = 2+6+12+4 = 24，所以 x̄ = 24/10 = 2.4。
- 列出 Σfx²：(1²×2)+(2²×3)+(3²×4)+(4²×1) = 2+12+36+16 = 66。
- 代入简式：σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 66/10 − 2.4² = 6.6 − 5.76。
例题 2
分组数据的组中值 x = 5、15、25、35，对应频率 f = 2、4、3、1。求方差。
- 总频率：Σf = 2 + 4 + 3 + 1 = 10。
- 平均数：Σfx = (5×2)+(15×4)+(25×3)+(35×1) = 10+60+75+35 = 180，所以 x̄ = 180/10 = 18。
- 列出 Σfx²：(5²×2)+(15²×4)+(25²×3)+(35²×1) = 50+900+1875+1225 = 4050。
- 代入：σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 4050/10 − 18² = 405 − 324。
学生常错之处
- 把 Σfx² 读成 (Σfx)² 或 Σf × (Σx²)，它指的是 Σ(f·x²)：先把每个 x 平方，乘以对应的 f，再相加。
- 在长式中漏掉频率加权，要的是 Σf(x−x̄)²，而不是只有 Σ(x−x̄)²。
- 在简式中减 x̄ 而不是 x̄²，或用组数去除而不是用 Σf。
配合使用
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
预约试课一小时付费试课 · 当天回复 · 每小时RM50起
常见问题
fx² 那一列该怎么正确列出？
逐行计算。先把值或组中值平方得到 x²，再乘以频率 f。
例如 x = 5、f = 2，就得到 5² × 2 = 50。把这些全部相加得到 Σfx²。
切勿把频率平方，也不要在相加之后才平方。
求分组方差还需要先求平均数吗？
需要。两种形式都用到 x̄，所以先求平均数 x̄ = Σfx / Σf。
之后简式只需 Σfx² 和 x̄²：σ² = Σfx²/Σf − x̄²。把未四舍五入的平均数留在计算器里，减法才会准确。
分组方差的算法和未分组一样吗？
原理相同，只是加了频率权重。未分组公式用 N 和 Σx²，分组则用 Σf 和 Σfx²，因为每个值重复 f 次。
如果所有 f 都是 1，两个公式就完全相同，所以可把分组视为一般情形。