公式表
标准差（分组数据）
两种形式 σ = √(Σf(x−x̄)²/Σf) = √(Σfx²/Σf − x̄²) 都印在 SPM 公式表上。你必须先求平均数和分组方差，再开平方，并对组距数据用组中值作为 x。
σ = √Σf(x−x̄)2 / Σf = √Σfx2/Σf − x̄2
考试提供符号的含义
- σ 分组数据的标准差，单位与数据相同
- f 每个值或每一组的频率
- x 每个值，或每个组的组中值
- x̄ 分组数据的平均数
- Σf 总频率（数据总个数）
- Σfx² 每个 频率 × 值² 的总和（即 Σ(f·x²)）
考试提供，还是要记？
两种形式 σ = √(Σf(x−x̄)²/Σf) = √(Σfx²/Σf − x̄²) 都印在 SPM 公式表上。你必须先求平均数和分组方差，再开平方，并对组距数据用组中值作为 x。
为什么成立
它就是分组方差再开平方，把分散程度还原到数据本身的单位。
- 求分组平均数 x̄ = Σfx / Σf。
- 求分组方差 σ² = Σfx²/Σf − x̄²（或用长式）。
- 开平方，把平方单位换回原来的单位。
- 结果 σ 描述分组数据相对其平均数的典型分散程度。
例题 1
分组数据的组中值 x = 5、15、25、35，对应频率 f = 2、4、3、1。求标准差。
- 总频率：Σf = 2 + 4 + 3 + 1 = 10；平均数 x̄ = Σfx/Σf = 180/10 = 18。
- 列出 Σfx²：(5²×2)+(15²×4)+(25²×3)+(35²×1) = 50+900+1875+1225 = 4050。
- 方差：σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 4050/10 − 18² = 405 − 324 = 81。
- 开平方：σ = √(Σfx²/Σf − x̄²) = √81。
例题 2
一个频率表：x = 1、2、3、4、5，对应频率 f = 1、2、3、2、1。求标准差，保留两位小数。
- 总频率：Σf = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9。
- 平均数：Σfx = (1×1)+(2×2)+(3×3)+(4×2)+(5×1) = 1+4+9+8+5 = 27，所以 x̄ = 27/9 = 3。
- 列出 Σfx²：(1²×1)+(2²×2)+(3²×3)+(4²×2)+(5²×1) = 1+8+27+32+25 = 93。
- 先方差再开方：σ² = 93/9 − 3² = 10.333... − 9 = 1.333...，σ = √1.333...。
学生常错之处
- 停在方差、忘了外层的开方，σ 需要开平方。
- 错误使用 (Σfx²)，或开方前分母漏掉 Σf。
- 中途对平均数或方差取整；应保持完整精度，只对最终的 σ 四舍五入。
配合使用
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
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常见问题
是先求方差再开方吗？
是的。最清晰的做法是：先求平均数，再求分组方差 σ² = Σfx²/Σf − x̄²，然后取 σ = √(σ²)。
按这个顺序做能让过程整洁，还能把方差作为中间答案写出，阅卷时可获步骤分。
分组数据的 Σfx² 里，我要平方哪个 x？
遇到组距时，用组中值作为 x，再平方并乘以频率 f。例如组 11–15 的组中值是 13，那一项就是 13² × f。
对于简单的频率表，值本身就是 x。切勿把频率平方。
我可以直接从计算器读出方差和标准差吗？
在统计模式下，科学计算器在你输入每个 x 及其频率后可直接显示 σ。这是有用的核对，但 SPM 常给步骤分，所以仍要写出平均数、Σfx² 步骤和公式。
要确认计算器用的是总体 σ，即除以 N。