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分组数据的离散量度

如何估计分组数据的平均值

当数据以组距而非单个数值给出时，用它估计平均值。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

开始之前

  1. 求区间的中点
  2. 小数乘以整数
  3. 读频率表
  4. 把 Σ（sigma）读作“加起来”

何时使用

当数据以组距而非单个数值给出时，用它估计平均值。

步骤

  1. 求每个组距的中点。
  2. 把每个中点乘以其组的频数。
  3. 把这些乘积相加得 Σfx。
  4. 把频数相加得 Σf。
  5. 把平均值估计为 Σfx ÷ Σf。

例题

20 个包裹的质量分组：1–5 公斤（4 个）、6–10 公斤（6 个）、11–15 公斤（7 个）、16–20 公斤（3 个）。估计平均质量。

  1. 求每组的中点：(1+5)/2 = 3，(6+10)/2 = 8，(11+15)/2 = 13，(16+20)/2 = 18。
  2. 把每个中点乘以该组的频率：3×4 = 12，8×6 = 48，13×7 = 91，18×3 = 54。
  3. 把这些乘积相加得 Σfx：12 + 48 + 91 + 54 = 205。
  4. 把频率相加得 Σf：4 + 6 + 7 + 3 = 20。
  5. 用 Σfx ÷ Σf 估计平均数：205 ÷ 20 = 10.25。

第二个例题（略有变化）

各组 1–10、11–20…… 的中点是小数（5.5、15.5……），最终平均数除不尽，需要四舍五入。 30 名学生的分数分组：1–10（5 人）、11–20（9 人）、21–30（11 人）、31–40（5 人）。

估计平均分数，精确到两位小数。

  1. 求每组的中点：(1+10)/2 = 5.5，(11+20)/2 = 15.5，(21+30)/2 = 25.5，(31+40)/2 = 35.5。
  2. 把每个中点乘以该组的频率：5.5×5 = 27.5，15.5×9 = 139.5，25.5×11 = 280.5，35.5×5 = 177.5。
  3. 把这些乘积相加得 Σfx：27.5 + 139.5 + 280.5 + 177.5 = 625。
  4. 把频率相加得 Σf：5 + 9 + 11 + 5 = 30。
  5. 用 Σfx ÷ Σf 估计平均数：625 ÷ 30 = 20.83（保留两位小数）。

你可能需要的公式

Mean (grouped) (考试提供)
x̄ = Σfx / Σf
考试提供
Variance (grouped) (考试提供)
σ2 = Σf(x−x̄)2 / Σf = Σfx2/Σf − x̄2
考试提供
Standard deviation (grouped) (考试提供)
σ = √Σf(x−x̄)2 / Σf = √Σfx2/Σf − x̄2
考试提供

公式页面

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常见问题

为什么这只是平均数的估计？

因为分组数据隐藏了确切值，我们用中点代替组内每个值，并假设值分布均匀。这假设很少完全成立，所以 Σfx ÷ Σf 给出的是近似估计，而非真实平均数。

怎么求组中点？

把该组的下限和上限相加再除以 2。对于 11–20 就是 (11 + 20) ÷ 2 = 15.5。

每组都这样算；乘以频率时，中点代表该组内的所有值。

要除以组数吗？

不。用 Σfx 除以 Σf，即总频率，数据值的总个数，而不是组数。

第二个例子中是 30 名学生，所以除以 30，而不是 4 个组距。

一对一学习估计分组数据的平均值

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