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分组数据的离散量度

如何从累积频率曲线读中位数

用累积频率曲线（ogive）求分组数据的中位数与四分位数。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

开始之前

  1. 准确从图的刻度读数
  2. 求某组的上边界（如 21–30 的 30.5）
  3. 用累加方式建立累积频率
  4. 明白中位数是数据的中间值

何时使用

用累积频率曲线（ogive）求分组数据的中位数与四分位数。

步骤

  1. 把每个频数累加到累计总数，建立累积频数表。
  2. 以每组的上界为横坐标，画出累积频数。
  3. 用平滑曲线连接各点。
  4. 求中位数时，在纵轴上找总频数的一半。
  5. 横向画到曲线、再向下画到横轴，读出数值。

例题

30 名学生的分数分组为 1–10（3 人）、11–20（6 人）、21–30（9 人）、31–40（8 人）、41–50（4 人）。用累积频率曲线估计中位数分数。

  1. 用累加方式建立累积频率：3、3+6=9、9+9=18、18+8=26、26+4=30。
  2. 以每组上边界为横坐标画累积频率：(10.5, 3)、(20.5, 9)、(30.5, 18)、(40.5, 26)、(50.5, 30)。
  3. 用平滑曲线连接各点（累积频率曲线）。
  4. 求中位数：在纵轴上取总频率的一半：30 ÷ 2 = 15。
  5. 从 15 横过去交曲线，再向下到横轴；约在 27 处，所以中位数约为 27 分。

第二个例题（略有变化）

不是读中位数，而是在总数的 ¼ 和 ¾ 处读出下四分位数和上四分位数，再相减得四分位距。 40 名跑者的时间（秒）分组为 0–5（4）、5–10（10）、10–15（14）、15–20（8）、20–25（4）。

用累积频率曲线估计四分位距。

  1. 建立累积频率：4、4+10=14、14+14=28、28+8=36、36+4=40。
  2. 以每组上边界为横坐标画累积频率：(5, 4)、(10, 14)、(15, 28)、(20, 36)、(25, 40)，用平滑曲线连接。
  3. 求下四分位数：在纵轴上取总数的 ¼：40 ÷ 4 = 10；横过去再向下，约得 8 秒。
  4. 求上四分位数：取总数的 ¾：3 × 40 ÷ 4 = 30；横过去再向下，约得 16 秒。
  5. 四分位距 = 上四分位数 − 下四分位数 ≈ 16 − 8 = 8 秒。

你可能需要的公式

Mean (grouped) (考试提供)
x̄ = Σfx / Σf
考试提供
Variance (grouped) (考试提供)
σ2 = Σf(x−x̄)2 / Σf = Σfx2/Σf − x̄2
考试提供
Standard deviation (grouped) (考试提供)
σ = √Σf(x−x̄)2 / Σf = √Σfx2/Σf − x̄2
考试提供

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常见问题

为什么以上边界而不是组中点作横坐标？

累积频率统计到某组为止的全部数据，而这一统计只有到该组上边界才完整。画在那里曲线才对齐；用组中点会使每点偏移，中位数就错了。

我从曲线读的中位数和同学略有不同，谁错了？

不一定。累积频率曲线是靠眼睛读的估计值，小差异很正常，合理范围内的答案都接受。

把曲线画大、画平滑，并用直尺画读数线，尽量读准。

上限和上边界有什么区别？

对于 21–30 这一组，上限是 30，但上边界是 30.5，在 30 与下一组的 31 之间。累积频率图用边界，所以画 30.5 而不是 30，使各组相接无缝隙。

一对一学习从累积频率曲线读中位数

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