Helaian rumus
Varians (terkumpul)
Kedua-dua bentuk σ² = Σf(x−x̄)²/Σf = Σfx²/Σf − x̄² diberi pada helaian rumus SPM. Anda perlu tahu untuk mencari x̄ dahulu, membina lajur fx² (kekerapan darab kuasa dua x), dan bahawa Σfx² bermaksud Σ(f·x²), kuasa duakan x dahulu, kemudian darab dengan f.
Maksud simbol
- σ² varians data terkumpul, dalam unit kuasa dua
- f kekerapan bagi setiap nilai atau kelas
- x setiap nilai, atau titik tengah setiap selang kelas
- x̄ min bagi data terkumpul
- Σf jumlah kekerapan (jumlah bilangan data)
- Σfx² hasil tambah setiap kekerapan × nilai² (iaitu Σ(f·x²))
Diberi dalam peperiksaan, atau hafal?
Kedua-dua bentuk σ² = Σf(x−x̄)²/Σf = Σfx²/Σf − x̄² diberi pada helaian rumus SPM. Anda perlu tahu untuk mencari x̄ dahulu, membina lajur fx² (kekerapan darab kuasa dua x), dan bahawa Σfx² bermaksud Σ(f·x²), kuasa duakan x dahulu, kemudian darab dengan f.
Mengapa ia berfungsi
Ia ialah varians tak terkumpul yang diberi pemberat oleh kekerapan: setiap sisihan kuasa dua dikira f kali kerana nilai itu muncul f kali.
- Cari min terkumpul x̄ = Σfx / Σf dahulu.
- Bagi setiap baris, kuasa duakan sisihan (x − x̄)² dan darab dengan kekerapan f, kemudian tambah untuk dapat Σf(x−x̄)².
- Bahagi dengan jumlah kekerapan Σf.
- Mengembangkan memberi bentuk ringkas yang lebih pantas Σfx²/Σf − x̄², hanya perlukan lajur fx² dan min.
Contoh berjawab 1
Satu jadual kekerapan mempunyai x = 1, 2, 3, 4 dengan kekerapan f = 2, 3, 4, 1. Cari varians.
- Jumlah kekerapan: Σf = 2 + 3 + 4 + 1 = 10.
- Min dahulu: Σfx = (1×2)+(2×3)+(3×4)+(4×1) = 2+6+12+4 = 24, jadi x̄ = 24/10 = 2.4.
- Bina Σfx²: (1²×2)+(2²×3)+(3²×4)+(4²×1) = 2+12+36+16 = 66.
- Gunakan bentuk ringkas: σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 66/10 − 2.4² = 6.6 − 5.76.
Contoh berjawab 2
Data terkumpul mempunyai titik tengah kelas x = 5, 15, 25, 35 dengan kekerapan f = 2, 4, 3, 1. Cari varians.
- Jumlah kekerapan: Σf = 2 + 4 + 3 + 1 = 10.
- Min: Σfx = (5×2)+(15×4)+(25×3)+(35×1) = 10+60+75+35 = 180, jadi x̄ = 180/10 = 18.
- Bina Σfx²: (5²×2)+(15²×4)+(25²×3)+(35²×1) = 50+900+1875+1225 = 4050.
- Gunakan: σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 4050/10 − 18² = 405 − 324.
Di mana pelajar tersilap
- Membaca Σfx² sebagai (Σfx)² atau Σf × (Σx²), ia bermaksud Σ(f·x²): kuasa duakan setiap x, darab dengan f-nya, kemudian tambah.
- Tertinggal pemberat kekerapan dalam bentuk panjang, anda perlukan Σf(x−x̄)², bukan sekadar Σ(x−x̄)².
- Menolak x̄ dan bukan x̄² dalam bentuk ringkas, atau membahagi dengan bilangan kelas dan bukan Σf.
Gunakan bersama
Sumber:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Soalan lazim
Bagaimana saya membina lajur fx² dengan betul?
Kerjakan setiap baris berasingan. Kuasa duakan nilai atau titik tengah dahulu untuk dapat x², kemudian darab dengan kekerapan f.
Jadi bagi x = 5, f = 2 anda dapat 5² × 2 = 50. Tambah semua ini untuk dapat Σfx².
Jangan kuasa duakan kekerapan, dan jangan kuasa dua selepas menambah.
Adakah saya masih perlukan min untuk mencari varians terkumpul?
Ya. Kedua-dua bentuk perlukan x̄, jadi cari min x̄ = Σfx / Σf dahulu.
Bentuk ringkas kemudian hanya perlukan Σfx² dan x̄²: σ² = Σfx²/Σf − x̄². Simpan min tanpa pembundaran dalam kalkulator supaya penolakan kekal tepat.
Adakah varians terkumpul dikira dengan cara yang sama seperti tak terkumpul?
Ia prinsip yang sama dengan pemberat kekerapan. Di mana rumus tak terkumpul guna N dan Σx², yang terkumpul guna Σf dan Σfx², kerana setiap nilai berulang f kali.
Jika setiap f ialah 1, kedua-dua rumus menjadi sama, jadi anggap terkumpul sebagai kes umum.