分组数据的离散量度 · 7.2.4

解决分组数据离散量度的问题

学生须把全距、四分位距、方差与标准差应用到多步骤的现实分组数据问题中，例如由已知平均数求出缺失的频数，再用它求方差与标准差，把解方程等先前学过的技能连结成一个完整的解题过程。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

官方学习标准 (7.2.4)

“解决涉及分组数据离散量度的问题。”

主要在第二卷考查，以分组频数表为基础的延伸题，其中缺少一项信息（通常是某个频数或平均数），要求学生先列出并求解方程，再求出题目要求的离散量度。第一卷可能只考查单一步骤的应用，例如由所给组界求全距。

下表显示一群学生在一场比赛中的分数，其中一个频数未知：1–10（4）、11–20（k）、21–30（6）、31–40（2）。已知平均分为 18.5，求 k 的值，然后求出这些分数的方差与标准差。

组中值：5.5、15.5、25.5、35.5。总频率 Σf = 4 + k + 6 + 2 = 12 + k。
Σfx = 4(5.5) + k(15.5) + 6(25.5) + 2(35.5) = 22 + 15.5k + 153 + 71 = 246 + 15.5k。
列出平均数方程：(246 + 15.5k)/(12 + k) = 18.5 → 246 + 15.5k = 222 + 18.5k → 24 = 3k → k = 8。
所以 Σf = 12 + 8 = 20，Σfx = 246 + 15.5(8) = 370，得 x̄ = 370/20 = 18.5，与所给平均数相符。
Σfx² = 4(5.5²) + 8(15.5²) + 6(25.5²) + 2(35.5²) = 121 + 1922 + 3901.5 + 2520.5 = 8465。
方差：σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 8465/20 − 18.5² = 423.25 − 342.25 = 81。
标准差：σ = √81 = 9。

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当某个频数缺失时，方程该怎么列？

把包括未知频数（如 k）在内的每个频数都写进用该字母表示的 Σf 与 Σfx 表达式里，再把所给的平均数代入 x̄ = Σfx/Σf，解出所得的线性方程。这与之前章节解方程的技巧相同，只是应用到了统计的情境中。

求出缺失的频数后，需要重新算一遍平均数吗？

可以，作为检验，用求得的频数重新算 x̄ = Σfx/Σf，应该得回题目所给的平均数。如果对不上，说明求未知频数那一步出错了，值得先重做那一步，再继续算方差。

除了频数，这类题目还可能缺少什么信息？

缺少组界、缺少组中值，甚至由所给的标准差反推频数，也是常见的题型。方法始终一样：把未知量设为字母，根据所给的统计量列出方程，再求解。