分组数据的离散量度 · 7.2.2

分组数据的箱形图

学生须求出分组数据的五数概括，以第一组的下组界作为最小值、Q1、中位数、Q3，以及以最后一组的上组界作为最大值，通常用内插法或由累积频率曲线求得，然后按比例绘制箱形图，并解读其偏态与分散情况。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

官方学习标准 (7.2.2)

“为一组分组数据绘制并解读箱形图。”

在第二卷中，学生通常会拿到一份分组频数表（或已画好的累积频率曲线），须求出五数概括、在方格纸上绘制箱形图，并加以解读，例如说明偏态，或与另一组数据比较分散程度。第一卷则可能要求学生直接从给定的箱形图读取特定数值。

下表显示 40 名学生在一次测验中的成绩：1–10（2）、11–20（6）、21–30（14）、31–40（12）、41–50（6）。求出五数概括并绘制箱形图，然后评论该分布的形状。

N = 40。累积频数：2、8、22、34、40。
最小值 = 第一组的下组界 = 0.5；最大值 = 最后一组的上组界 = 50.5（分组数据无法给出真正的最小与最大个体值）。
Q1 位于 N/4 = 10 处，落在 21–30 组（组界 20.5–30.5，累积频数由 8 增至 22）：Q1 = 20.5 + [(10 − 8)/14] × 10 = 21.9。
中位数位于 N/2 = 20 处，同样落在 21–30 组：中位数 = 20.5 + [(20 − 8)/14] × 10 = 29.1。
Q3 位于 3N/4 = 30 处，落在 31–40 组（组界 30.5–40.5，累积频数由 22 增至 34）：Q3 = 30.5 + [(30 − 22)/12] × 10 = 37.2。
从 Q1 到 Q3 画出箱体，在中位数处画一条线，再画须线到最小值与最大值：左须线（0.5 到 21.9）明显比右须线（37.2 到 50.5）长，说明成绩偏向较低的一端。

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分组数据没有个体数值，最小值和最大值从何而来？

做法是用第一组的下组界近似作为最小值，用最后一组的上组界近似作为最大值。这是一种约定，假设数据可能落在该组内的任何位置，所以分组数据的箱形图始终是一个估计值，而不是精确的写照。

只凭观察，怎么判断箱形图是否偏态？

比较两侧的须线和箱体的两半。若某一侧的须线（或箱体半边）明显比另一侧长，分布就向较长的那一侧偏斜，左须线较长表示较低的数值把形状拉向左边（负偏态），右须线较长则相反（正偏态）。

画箱形图之前，一定要先画累积频率曲线吗？

不一定，你可以直接用累积频数表通过内插法求出 Q1、中位数和 Q3，不必先作图。不过，如果题目已经给出累积频率曲线，直接从曲线上读取四分位数通常更快，也是内插公式之外可接受的替代方法。