分组数据的离散量度 · 7.1.3

累积频率曲线、四分位数与百分位数

学生把累积频数对每一组的上组界作图，画出一条平滑上升的累积频率曲线，建立在累积频数表和直方图的基础上。他们在纵轴上于 N/4、N/2 与 3N/4 的位置读出四分位数 Q1、Q3 与中位数，并用同样的方法在 kN/100 的位置估计任何百分位数。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

官方学习标准 (7.1.3)

“为一组分组数据绘制累积频率曲线（ogive）并求出四分位数。绘制累积频率曲线时须与累积频数直方图相联系，并须涉及百分位数。”

几乎完全在第二卷考查：学生须由分组频数表补全累积频数一列，在方格纸上准确地通过各组上组界画出累积频率曲线，再从中读出中位数、Q1、Q3，有时还须读出指定的百分位数。第一卷可能考查哪一条轴或哪个位置对应某个四分位数或百分位数。

下表显示 50 名学生在一次测验中的成绩：1–10（4）、11–20（9）、21–30（14）、31–40（15）、41–50（8）。列出累积频数表，说明如何绘制累积频率曲线，然后求出第一四分位数 Q1、第三四分位数 Q3 和第 70 百分位数。

累积频数（累加总数）：4、13、27、42、50。
把累积频数对每一组的上组界作图，(0.5, 0)、(10.5, 4)、(20.5, 13)、(30.5, 27)、(40.5, 42)、(50.5, 50)，并用平滑上升的曲线连接各点，构成累积频率曲线。
N = 50，所以 Q1 位于累积频数 N/4 = 12.5 处，落在 11–20 组（组界 10.5–20.5，累积频数由 4 增至 13）。
在此位置读取（或内插）：Q1 = 10.5 + [(12.5 − 4)/9] × 10 = 10.5 + 9.44 = 19.9 分。
Q3 位于累积频数 3N/4 = 37.5 处，落在 31–40 组（组界 30.5–40.5，累积频数由 27 增至 42）。
Q3 = 30.5 + [(37.5 − 27)/15] × 10 = 30.5 + 7 = 37.5 分。
第 70 百分位数位于累积频数 70N/100 = 35 处，同样落在 31–40 组。
P70 = 30.5 + [(35 − 27)/15] × 10 = 30.5 + 5.33 = 35.8 分。

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累积频数直方图和累积频率曲线（ogive）有什么区别？

累积频数直方图是一组长条，显示到每个组界为止的累加总数；累积频率曲线则是把每个长条的顶角（或每个所描的点）用平滑曲线连接而成，能在任何位置读值，而不只是在组界处。

为什么百分位数的位置是 kN/100 而不是直接用 k？

因为百分位数标示的是使 k% 数据落在其下方的那个位置，所以需要的是总频数 N 的 k/100，而不是 k 本身。对于 N = 50 的第 70 百分位数，位置是 70/100 × 50 = 35，而不是 70，务必先把百分比换算成 N 的分数。

可以用内插法求四分位数，而不用画累积频率曲线吗？

可以，用公式 L + [(位置 − F)/f] × c 内插，直接使用累积频数表就能得到与曲线上相同的读数，其中「位置」是 N/4、3N/4 或 kN/100。阅卷通常两种方法都接受，但若题目特别注明「从累积频率曲线」求值，就必须画出并使用图形。