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运动图形 · 中四

运动图形：例题（KBAT）

这些是隐藏了图形技巧的真实多步骤情境，轻快铁在两站之间的行驶、途中在商店停留的骑行，以及高速公路的刹车距离检查。适合会做单步、却在题目包装后不知所措的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一列轻快铁在两站之间行驶 1500 m：从静止在 20 s 内均匀加速到 25 m/s，以 25 m/s 匀速率行驶，然后在 15 s 内均匀减速到停在下一站。求它以 25 m/s 匀速率行驶多久，以及两站之间的总时间。

  1. 画出速率-时间图：三角形（加速）、长方形（匀速率）、再三角形（减速）；整个面积 = 1500 m。
  2. 加速阶段的距离 = ½ × 20 × 25 = 250 m。
  3. 减速阶段的距离 = ½ × 15 × 25 = 187.5 m。
  4. 匀速率阶段的距离 = 1500 − 250 − 187.5 = 1062.5 m。
  5. 匀速率阶段的时间 = 距离 ÷ 速率 = 1062.5 ÷ 25 = 42.5 s。
  6. 总时间 = 20 + 42.5 + 15 = 77.5 s。

例题 2

Aisyah 骑车 6 km 上学。前 4 km 以稳定速率用了 8 分钟；她接着在商店停留 4 分钟；最后 2 km 以稳定速率用了 8 分钟。

求她较快那一段的速率（km/h），以及整段行程（含停留）的平均速率（km/h）。

  1. 第一段速率 = 距离 ÷ 时间 = 4 km ÷ (8/60 h) = 4 ÷ 0.1333… = 30 km/h。
  2. 最后一段速率 = 2 km ÷ (8/60 h) = 2 ÷ 0.1333… = 15 km/h。
  3. 较快的一段是第一段，30 km/h。
  4. 总距离 = 6 km；总时间 = 8 + 4 + 8 = 20 分钟 = 20/60 h = ⅓ h。
  5. 平均速率 = 6 ÷ (1/3) = 18 km/h。

例题 3

一辆汽车在高速公路上以 30 m/s 行驶。司机用 0.8 s 反应，其间速率保持 30 m/s，然后均匀刹车在 4 s 内停下。

司机第一次看到时，前方 100 m 处有一辆抛锚的罗里。利用速率-时间图，求总刹车距离，并判断汽车能否及时停下。

  1. 反应阶段：速率保持 30 m/s，所以图形是长方形；距离 = 30 × 0.8 = 24 m。
  2. 刹车阶段：速率在 4 s 内从 30 m/s 降到 0，是一个三角形；距离 = ½ × 4 × 30 = 60 m。
  3. 总刹车距离 = 24 + 60 = 84 m。
  4. 与间距比较：84 m < 100 m，所以汽车在罗里前约 16 m 处停下。

例题 4

Rahman 先生从 P 镇驾车到 Q 镇，距离 18 公里。前 12 公里他以 72 公里/小时 行驶，随后交通拥堵使他在剩下的 6 公里只能以 24 公里/小时 行驶。

求 (a) 整段旅程的总时间（以分钟计），及 (b) 整段旅程的平均速率（以 公里/小时 计）。

  1. 第一段时间 = 12 ÷ 72 = 1/6 小时 = 10 分钟。
  2. 第二段时间 = 6 ÷ 24 = 1/4 小时 = 15 分钟。
  3. (a) 总时间 = 10 + 15 = 25 分钟 = 25/60 = 5/12 小时。
  4. (b) 平均速率 = 总距离 ÷ 总时间 = 18 ÷ (5/12) = 18 × 12/5。
  5. 平均速率 = 43.2 公里/小时。

例题 5

Siti 女士从家慢跑到公园，距离 3 公里，速率 6 公里/小时。然后她沿同一路线以 4 公里/小时 走回家。

求她整段行程的平均速率（以 公里/小时 计）。

  1. 去公园的时间 = 3 ÷ 6 = 0.5 小时。
  2. 回家的时间 = 3 ÷ 4 = 0.75 小时。
  3. 总距离 = 3 + 3 = 6 公里；总时间 = 0.5 + 0.75 = 1.25 小时。
  4. 平均速率 = 总距离 ÷ 总时间 = 6 ÷ 1.25。
  5. 平均速率 = 4.8 公里/小时。

例题 6

两名骑车者在同一时刻从同一点沿直路出发。骑车者 P 以 8 米/秒 的恒定速率行驶。

骑车者 Q 从静止开始，以 1 米/秒² 均匀加速。利用他们速率-时间图下的面积，求 (a) Q 追上 P 的时间，及 (b) 那一刻距离起点的距离。

  1. P 在 t 秒后的距离 = 长方形面积 = 8 × t = 8t。
  2. Q 在 t 秒后的速率 = 1 × t = t，所以 Q 的距离 = 三角形面积 = ½ × t × t = 0.5t²。
  3. Q 追上 P 时两者距离相等：0.5t² = 8t。
  4. 两边除以 t（t ≠ 0）：0.5t = 8，所以 t = 16 秒。
  5. (b) 距离 = 8 × 16 = 128 米。

例题 7

一辆货车从 M 镇开往 N 镇，两镇相距 210 千米。前 90 千米以恒定速度 60 km/h 行驶，之后以另一恒定速度行驶完剩下的 120 千米。

若整趟行程共花费 3 小时，求 (a) 第二段路程的速度，以及 (b) 整趟行程的平均速度。

  1. (a) 第一段所用时间 = 90 ÷ 60 = 1.5 h
  2. 第二段所用时间 = 总时间 − 第一段时间 = 3 − 1.5 = 1.5 h
  3. 第二段速度 = 距离/时间 = 120 ÷ 1.5 = 80 km/h
  4. (b) 平均速度 = 总距离/总时间 = 210 ÷ 3 = 70 km/h

例题 8

P 镇和 Q 镇相距 150 千米。一辆巴士以恒定速度 50 km/h 从 P 镇开往 Q 镇。

与此同时，一辆汽车沿同一条路以恒定速度 70 km/h 从 Q 镇开往 P 镇。求 (a) 巴士与汽车相遇所需的时间，以及 (b) 相遇地点与 P 镇的距离。

  1. (a) 由于两车相向而行，速度相加：合速度 = 50 + 70 = 120 km/h
  2. 相遇时间 = 距离/合速度 = 150 ÷ 120 = 1.25 h（1 小时 15 分钟）
  3. (b) 与 P 镇的距离 = 巴士速度 × 时间 = 50 × 1.25 = 62.5 km

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

运动图像的KBAT题目通常会问什么？

KBAT题目通常会在同一坐标轴上比较两个运动物体，例如两名骑单车者，或一辆汽车和一辆巴士，要求你判断它们何时相遇、在某个时刻谁的速度更快，或根据文字描述补画图中缺失的部分。这类题目考查的是你能否读懂图像背后的故事情节，而不只是计算斜率数值，所以作答时要把推理过程清楚写出来。

在合并的距离-时间图中，如何找出两个物体相遇的位置？

两个物体相遇的位置，就是它们各自的图线在图中相交的那一点，因为那一刻两者在同一时间走过了相同的距离。你可以直接从图上读出交点对应的时间和距离坐标，如果两条线都有对应的方程，也可以令两个距离表达式相等，解方程求出交点。

根据文字描述补画运动图像缺失部分时，常见的陷阱是什么？

学生常常直接画一条直线，却忽略了文字描述其实暗示速度在不断变化；也常常忘记补画的部分必须和已给出的图形在同一点上平滑衔接。建议逐句重新阅读描述，把每一部分对应到直线段还是曲线段，并检查自己补画的起点是否恰好衔接在已给图形的终点上。

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