数基 · 中四
数基：例题（KBAT）
高阶思维：真实情境中数基技巧被隐藏起来，要先看出来才能分几步解决。适合已会转换和运算、现在需要判断何时以及如何应用的学生。
例题 1
一盏数字课室灯用一排 5 颗小灯显示亮度，每颗要么灭(0)要么亮(1)，从左到右读作一个二进制数，最左边的灯位值最大。星期一这排灯显示 1 0 1 1 0。
老师把亮度调高 5 级。变化之后这排灯会显示什么？
- 认出这排灯是一个二进制数：10110₂。
- 先转成十进制来做加法：(1×16)+(0×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1) = 16 + 4 + 2 = 22。
- 把亮度调高 5 级就是加 5：22 + 5 = 27。
- 用反复相除把 27 转回二进制：27 ÷ 2 = 13 余 1；13 ÷ 2 = 6 余 1；6 ÷ 2 = 3 余 0；3 ÷ 2 = 1 余 1；1 ÷ 2 = 0 余 1。
- 余数由下往上读：1 1 0 1 1，正好填满 5 颗灯。
- 验算：11011₂ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27。✓
例题 2
一位宿舍舍监用八进制计数板清点储存的米袋，因为米袋每 8 袋一托盘、每 8 托盘一格。板上显示仓库有 246₈ 袋。
这一周用掉了 57₈ 袋，又到货 30₈ 袋。现在仓库有多少袋，用八进制表示？
- 计划：全程用八进制运算。先减去用掉的，再加上到货的。
- 246₈ − 57₈。个位：6 − 7 借位：(6+8) − 7 = 7。八位：4 变成 3；3 − 5 借位：(3+8) − 5 = 6。六十四位：2 变成 1；1 − 0 = 1。结果 167₈。
- 用十进制验算减法：246₈ = 166，57₈ = 47，166 − 47 = 119，而 167₈ = 64+48+7 = 119。✓
- 接着 167₈ + 30₈。个位：7 + 0 = 7。八位：6 + 3 = 9 = 8 + 1，写 1 进 1。六十四位：1 + 0 + 1（进位） = 2。结果 217₈。
- 用十进制验算：119 + 24 = 143，而 217₈ = 128 + 8 + 7 = 143。✓
例题 3
两支机器人队伍通过拼接两个数字来写一个共享密码。A 队贡献 34₅，B 队贡献 1101₂。
规则是最终密码为两份贡献之和，用八进制表示。密码是什么？
- 两个数字在不同的数基，所以先都转成十进制。
- A 队：34₅ = (3×5) + (4×1) = 15 + 4 = 19。
- B 队：1101₂ = (1×8)+(1×4)+(0×2)+(1×1) = 8 + 4 + 1 = 13。
- 用十进制相加：19 + 13 = 32。
- 用反复相除把 32 转成八进制：32 ÷ 8 = 4 余 0；4 ÷ 8 = 0 余 4。余数由下往上读：4 0。
- 验算：40₈ = (4×8) + 0 = 32。✓
例题 4
停车场机器以八进制打印票号。最后打印的票是 377₈。
求第 5 辆之后到达的车的票号（以八进制表示）。
- 把 377₈ 换算成十进制：3×64 + 7×8 + 7 = 192 + 56 + 7 = 255。
- 第 5 辆之后的车号为十进制 255 + 5 = 260。
- 把 260 换算成八进制：260÷8 = 32 余 4，32÷8 = 4 余 0，4÷8 = 0 余 4。
- 从最后一个余数读到第一个：404。
例题 5
一个控制面板有 6 个开/关开关，显示一个二进制数，现在读作 100101₂。操作员将设定增加 14（十进制）。
求新的二进制读数。
- 把 100101₂ 换算成十进制：32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 37。
- 加 14：37 + 14 = 51（十进制）。
- 把 51 换算成二进制：51 = 32 + 16 + 2 + 1。
- 所以数字为 1 1 0 0 1 1，即 110011。
例题 6
两个储物柜使用不同的编码系统。储物柜 P 用代码 1101₂ 打开，储物柜 Q 用代码 23₅。
一名学生声称这两个代码代表相同的数。判断该学生是否正确，并写出解题过程。
- 把两个代码都换算成十进制以便公平比较。
- 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。
- 23₅ = 2×5 + 3 = 13。
- 两个代码在十进制下都等于 13，因此代表相同的数，差为 0。
例题 7
在八进制中，数字 3d5₈（d为未知数字）等于十进制的213。求d的值。
- 按位值展开 3d5₈：(3×8²) + (d×8¹) + (5×8⁰) = 213
- 192 + 8d + 5 = 213
- 197 + 8d = 213
- 8d = 16
- d = 2
例题 8
在一款复古电子游戏中，分数显示以八进制运作，因为主机的内存以八进制方式组织。完成一个关卡后，Farah的分数显示为 354₈ 分。
她之后因错过一个奖励道具被扣除 267₈ 分。求剩下的分数，答案以十进制表示。
- 把354₈转换为十进制：(3×64) + (5×8) + 4 = 192 + 40 + 4 = 236
- 把267₈转换为十进制：(2×64) + (6×8) + 7 = 128 + 48 + 7 = 183
- 相减：236 − 183 = 53
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
数基题是怎样变成KBAT难度的？
这类题目会把数基转换放进真实情境里，比如计算机内存、编码或找规律的问题，需要你在得出答案之前先跨进位制地转换、比较或解方程。开始解题前一定要仔细看清题目中每个数字各自是用什么进位制表示的。
多步骤数基题最容易掉进的陷阱是什么？
在较长的解题过程中，很容易忘记自己当前正在用哪个进位制。务必给每一个中间结果都清楚标注所用的进位制，并在写出最终答案前，把它换算回十进制核对一遍，确认真的正确。
遇到要求解出未知数字或未知进位制的题目，应该怎么处理？
用位值把未知数设为变量列出方程，再用代数方法求解，并检查求出的每一位数字对该进位制来说是否合法（数字必须小于该进位制的基数）。这一步合法性检查往往就是这类题目的得分关键。