变化 · 中五
变化：例题（中等）
本组进入联合变分以及正反混合变分，先从一组完整数值求出常数 k，再用它回答后续问题。适合已会单一变分、但遇到两个量同时作用就卡住的学生。
例题 1
z 与 x 成正变分，与 y 成反变分。当 x = 8 且 y = 2 时，z = 20。
求当 x = 6 且 y = 5 时 z 的值。
- 混合变分，所以写出 z = kx/y。
- 代入 x = 8，y = 2，z = 20：20 = k × 8 / 2。
- 化简右边：20 = 4k。
- 解出 k：k = 20 ÷ 4 = 5。
- 方程为 z = 5x/y。
- 代入 x = 6，y = 5：z = 5 × 6 / 5 = 30 ÷ 5 = 6。
例题 2
w 与 r 的平方成正变分。当 r = 3 时，w = 45。
求当 w = 125 时 r 的值。
- 带平方的正变分，所以写出 w = kr²。
- 代入 r = 3，w = 45：45 = k × 3² = 9k。
- 解出 k：k = 45 ÷ 9 = 5。
- 方程为 w = 5r²。
- 代入 w = 125：125 = 5r²，所以 r² = 125 ÷ 5 = 25。
- 取正平方根：r = √25 = 5。
例题 3
F 与 m 和 a 成联合变分。当 m = 4 kg 且 a = 3 m/s² 时，F = 24 N。
求当 m = 7 kg 且 a = 5 m/s² 时 F 的值。
- 联合变分，所以写出 F = kma。
- 代入 m = 4，a = 3，F = 24：24 = k × 4 × 3。
- 化简：24 = 12k。
- 解出 k：k = 24 ÷ 12 = 2。
- 方程为 F = 2ma。
- 代入 m = 7，a = 5：F = 2 × 7 × 5 = 70。
例题 4
z 与 x 和 y 成联变。当 x = 3、y = 4 时，z = 60。
求当 x = 5、y = 6 时的 z。
- 联变：z = kxy。
- 求 k：60 = k × 3 × 4 = 12k，所以 k = 5。
- 方程：z = 5xy。
- 当 x = 5、y = 6：z = 5 × 5 × 6 = 150。
例题 5
p 与 q 的平方成反比。当 q = 2 时，p = 9。
求当 q = 3 时的 p。
- 平方反变：p = k/q²。
- 求 k：9 = k/2² = k/4，所以 k = 36。
- 方程：p = 36/q²。
- 当 q = 3：p = 36 ÷ 3² = 36 ÷ 9 = 4。
例题 6
V 与 h 及 r 的平方成正比。当 h = 4、r = 3 时，V = 72。
求当 h = 5、r = 2 时的 V。
- 综合变分：V = k h r²。
- 求 k：72 = k × 4 × 3² = k × 4 × 9 = 36k，所以 k = 2。
- 方程：V = 2 h r²。
- 当 h = 5、r = 2：V = 2 × 5 × 2² = 2 × 5 × 4 = 40。
例题 7
y 与 x 的平方成正变分，与 z 成反变分。当 x = 4，z = 8 时，y = 10。
求当 x = 6，z = 12 时 y 的值。
- 写出组合方程：y = kx²/z。
- 代入 x = 4，z = 8，y = 10：10 = k(4)²/8 = 16k/8 = 2k。
- 解出 k：k = 10 ÷ 2 = 5。
- 方程为 y = 5x²/z。
- 代入 x = 6，z = 12：y = 5(6)²/12 = 5 × 36/12 = 180/12 = 15。
例题 8
P 与 x 及 y 的立方成联合变分。当 x = 3，y = 2 时，P = 48。
求当 x = 5，y = 3 时 P 的值。
- 写出联合变分方程：P = kxy³。
- 代入 x = 3，y = 2，P = 48：48 = k(3)(2)³ = k × 3 × 8 = 24k。
- 解出 k：k = 48 ÷ 24 = 2。
- 方程为 P = 2xy³。
- 代入 x = 5，y = 3：P = 2(5)(3)³ = 2 × 5 × 27 = 270。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
变量关系在中等难度考什么？
中等难度的题目进入联变阶段，即一个量同时依赖另外两个量，例如 y 与 x 成正比，同时与 z 成反比（y = kx/z）。你需要先用一组数据求出常数 k，再用同一个 k 去解决另一组新数据的相关问题。
联变题目中，考官看重什么？
得分关键在于先正确列出联变方程式，再把已知数值代入求出 k，并把这当作清楚独立的一步展示出来，然后才用这个 k 去回答题目真正要求的问题。如果直接跳到答案而没有展示求出 k 的过程，通常会失去方法分。
联变题目常见的失分点是什么？
学生常常把变量放错方程式的位置，例如把 y = kxz 写出来，而 z 其实应该放在分母，原因是看错了描述联变关系的句子中「反比」这个词。建议先用文字重新整理清楚关系，再把它转换成方程式。