变化

本章把“事物一起变化”这一日常观念形式化。正变里一个量随另一个上升而上升；反变里一个随另一个下降而上升；联变则混合多种关系。

你要学会建立方程、求常数，并解未知量。

试卷二用文字给出关系（“y 与 x 的平方成正变”）、一对数值求 k，再让你预测另一个值。最常见的失误是读错变化类型，所以第一句要格外留意。

除了简单的正变化和反变化，一个量可以同时依赖两个或更多其他量。在联合变化中，y 与 x 和 z 都成正变化，写作 y ∝ xz，所以方程是 y = kxz。

在综合变化中，你把两种概念混合：例如 y 与 x 成正变化、与 z 成反变化，得 y ∝ x/z，所以 y = kx/z。关键一步是先把整个关系写成一个方程，凡与它成正变化的量放在上面，凡与它成反变化的量放在下面，单一常数 k 乘以全部。

求 k 的方法不变，代入一组完整对应的值即可，然后代入其余的值就能预测新值。

本章最常见的错误是看错关系是正变化还是反变化，有两个快速检验能防止它。从文字看：正变化中两个量同向变动，一个升另一个也升，而反变化中它们反向变动，一个升另一个降。

从数值表看：正变化中每一对的比值 y ÷ x 保持不变（这个恒定比值就是 k），而反变化中每一对的乘积 x × y 保持不变（这个恒定乘积就是 k）。所以若表中数值每次相乘得同一值，就是反变化；若每次相除得同一值，就是正变化。

写方程前先检验其中一个，能及早抓住错误，那时还容易纠正。

变化常涉及幂，稳妥的规则是从一开始就把幂写进方程，而不是事后补上。若 y 与 x 的平方成正变化，关系是 y = kx² 而非 y = kx；若 y 与 x 的平方根成反变化，则是 y = k/√x。

在幂已就位的情况下求 k，代入所给的一对值，先算 x² 或 √x，再解出 k，预测下一个值时也保留这个幂。最常见的失误是把关系当成线性来求 k，直到最后才想起平方，这会算错常数。

仔细阅读“……的平方”“……的立方”或“……的平方根”这类措辞，就能准确知道该写哪个幂。

这个例子是综合变化，混合一个正变化部分和一个反平方部分，正是试卷二题目常见的形式。