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变化 · 中五

变化：练习题

变化 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

变化 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

y 与 x 的平方成正比。下列哪一个关系式正确？

（k 为常数。）

  1. A. y = k/x²
  2. B. y = kx²
  3. C. y = k√x
  4. D. y = kx

题 2

p 与 q 成正比。已知当 q = 3 时 p = 12，求常数 k 的值。

  1. A. 3
  2. B. 9
  3. C. 4
  4. D. 36

题 3

y 与 x 成反比。当 x = 2 时 y = 15。

求当 x = 6 时 y 的值。

  1. A. 20
  2. B. 10
  3. C. 5
  4. D. 45

题 4

w 与 x 成正比，与 y 成反比。下列哪一个关系式正确？

（k 为常数。）

  1. A. w = kxy
  2. B. w = kx/y
  3. C. w = ky/x
  4. D. w = k/(xy)

题 5

y 与 √x 成正比。已知当 x = 4 时 y = 6，求当 x = 9 时 y 的值。

  1. A. 13.5
  2. B. 12
  3. C. 9
  4. D. 4.5

题 6

F 与 d 的平方成反比。当 d = 3 时 F = 8。

求常数 k 的值。

  1. A. 24
  2. B. 72
  3. C. 2.67
  4. D. 8

题 7

z 与 x 和 y 联合成正比（联变）。已知当 x = 2、y = 3 时 z = 24，求当 x = 5、y = 4 时 z 的值。

  1. A. 40
  2. B. 60
  3. C. 100
  4. D. 80

题 8

y 与 x 成正比。当 x = 8 时 y = 20。

利用比例法，求当 x = 14 时 y 的值。

  1. A. 11.43
  2. B. 35
  3. C. 32
  4. D. 26

题 9

y 与 x 成反比。若 x 乘以 4，则 y 会怎样变化？

  1. A. 乘以 4
  2. B. 除以 4
  3. C. 不变
  4. D. 乘以 16

题 10

y 与 x² 成正比，与 z 成反比。下列哪一个表达式正确？

（k 为常数。）

  1. A. y = kx²z
  2. B. y = kx²/z
  3. C. y = kz/x²
  4. D. y = k/(x²z)

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

一根铜线的质量 M 克与它的长度 L 厘米成正比。一根长 25 厘米的铜线质量为 40 克。

(a) 用 L 表示 M。 (b) 求长 60 厘米的铜线的质量。

(c) 求质量为 72 克的铜线的长度。

  1. 将正变关系写成 M = kL，其中 k 为常数。
  2. 代入 M = 40、L = 25：40 = k × 25，所以 k = 40 ÷ 25 = 1.6。
  3. (a) 因此 M = 1.6L。
  4. (b) 当 L = 60 时：M = 1.6 × 60 = 96 克。
  5. (c) 当 M = 72 时：72 = 1.6L，所以 L = 72 ÷ 1.6 = 45 厘米。

题 2 (6 分)

注满一个水箱所需的时间 t 小时与所用水管的数目 n 成反比。当使用 4 根水管时，水箱在 3 小时内注满。

(a) 建立联系 t 与 n 的方程。 (b) 求使用 6 根水管时注满水箱所需的时间。

(c) 求在 1.5 小时内注满水箱所需的水管数目。

  1. 将反变关系写成 t = k/n，其中 k 为常数。
  2. 代入 t = 3、n = 4：3 = k ÷ 4，所以 k = 3 × 4 = 12。
  3. (a) 因此 t = 12/n。
  4. (b) 当 n = 6 时：t = 12 ÷ 6 = 2 小时。
  5. (c) 当 t = 1.5 时：1.5 = 12/n，所以 n = 12 ÷ 1.5 = 8 根。

题 3 (7 分)

量 w 与 u 成正比，与 v 的平方成反比。当 u = 8、v = 2 时，w = 10。

(a) 用 u 和 v 表示 w。 (b) 求当 u = 12、v = 5 时 w 的值。

(c) 求当 w = 25、u = 45 时 v 的值。

  1. 将联变关系写成 w = ku/v²，其中 k 为常数。
  2. 代入 w = 10、u = 8、v = 2：10 = k × 8 ÷ 2² = 8k ÷ 4 = 2k，所以 k = 5。
  3. (a) 因此 w = 5u/v²。
  4. (b) 当 u = 12、v = 5 时：w = 5 × 12 ÷ 5² = 60 ÷ 25 = 2.4。
  5. (c) 当 w = 25、u = 45 时：25 = 5 × 45 ÷ v² = 225/v²，所以 v² = 225 ÷ 25 = 9，v = √9 = 3。

题 4 (6 分)

一个电阻器所消耗的电功率 P 瓦特与电流 I 安培的平方成正比。当 I = 3 A 时，P = 45 W。

(a) 用 I 表示 P。 (b) 求当 I = 5 A 时的功率。

(c) 求当功率为 80 W 时的电流。

  1. 将正变关系写成 P = kI²，其中 k 为常数。
  2. 代入 P = 45、I = 3：45 = k × 3² = 9k，所以 k = 45 ÷ 9 = 5。
  3. (a) 因此 P = 5I²。
  4. (b) 当 I = 5 时：P = 5 × 5² = 5 × 25 = 125 W。
  5. (c) 当 P = 80 时：80 = 5I²，所以 I² = 80 ÷ 5 = 16，I = √16 = 4 A。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套变量关系练习中，第一卷和第二卷题目有什么区别？

第一卷是选择题，考查你能否从给定的关系式中快速判断是正变、反变还是联合变化。第二卷是结构式作答题，通常要求你先求出变化常数，列出关系式，再用这个关系式去计算题目要求的未知量，每一步都要写清楚。

为什么要先自己解变量题，再看示范解答？

判断关系式是正变、反变还是联合变化，是最容易出错的一步，只有自己先动手列式，才能知道在求出常数之前，自己选的关系式对不对。如果先看解答，这个关键判断就被跳过了，考试时同样的错误还是可能重犯。

变量关系题最常见的错误有哪些？

常见错误是把反变关系写成 y = kx，而不是正确的 y = k/x；或者题目说“与……的平方成正比”、“与……的立方成正比”时，忘了把变量平方或立方。学生在求变化常数 k 时，也常常把已知数值代入错误的位置，导致算出来的常数不对。

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