变化
如何解联合变化
当一个量同时随两个或更多量变化时使用。
开始之前
- 单一的正比和反比
- 求常数 k
- 代入含幂的数值，如 z²
何时使用
当一个量同时随两个或更多量变化时使用。
步骤
- 读题意，看哪些变量是正变、哪些是反变。
- 写出一个组合关系，如 y = kxz 或 y = kx/z。
- 代入第一组完整数值求 k。
- 写出填入 k 的完整方程。
- 代入新值求未知量。
例题
y 与 x 和 z 都成正比。当 x = 2、z = 3 时，y = 24。
求 x = 4、z = 5 时的 y。
- 读题：y 与 x 和 z 都成正比。
- 写出一个组合关系：y = kxz。
- 代入第一组完整数值 x = 2、z = 3、y = 24：24 = k × 2 × 3 = 6k，所以 k = 4。
- 写出完整方程：y = 4xz。
- 代入新值 x = 4、z = 5：y = 4 × 4 × 5 = 80。
第二个例题（略有变化）
有一个变量是反比且带平方（z²），所以组合关系把正比、反比和幂混在一起。 y 与 x 成正比，与 z 的平方成反比。
当 x = 6、z = 2 时，y = 9。求 x = 8、z = 4 时的 y。
- 读题：y 与 x 成正比，与 z 成反比，且 z 带平方。
- 写出一个组合关系：y = kx/z²。
- 代入第一组完整数值 x = 6、z = 2、y = 9：9 = k × 6 / 2² = 6k/4，所以 6k = 36，k = 6。
- 写出完整方程：y = 6x/z²。
- 代入新值 x = 8、z = 4：y = 6 × 8 / 4² = 48/16 = 3。
公式页面
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常见问题
怎么知道哪些变量在分子、哪些在分母？
正比变量放在分数上方，彼此相乘；反比变量放在下方。若 y 与 x 成正比、与 z 成反比，写 y = kx/z。
把每个变量读作“正比”或“反比”，就能确定它该放哪里。
求 k 需要用到所有数值吗？
是的，需要一组完整数值，关系中每个变量各一个，才能求 k。把它们一次全部代入 y = kxz 或 y = kx/z 再解出 k。
哪怕少一个值，都无法确定这个常数。
代入 z 时平方怎么处理？
先把 z 的值平方，再去除它。z = 2 时，z² 是 4 而不是 2，所以除以 4。
先算幂再除法才能保持运算正确；除完再平方是常见又致命的错误。