全等、放大与复合变换
如何辨认单一变换
用它命名并完整描述把一个图形映到另一个的变换。
开始之前
- 四种变换：平移、反射、旋转、放大
- 从网格读取坐标
- 比较两个图形的边长
何时使用
用它命名并完整描述把一个图形映到另一个的变换。
步骤
- 比较原象与象：大小相同是等距变换，变大或变小是放大。
- 若大小一致，从朝向判断是平移、反射还是旋转。
- 找出具体细节：向量、轴，或中心与角度。
- 在一段完整描述中写出类型与每个细节。
- 把你的描述施加到原象来检验。
例题
三角形 A 的顶点为 (1, 1)、(1, 3) 和 (2, 1)。三角形 B 的顶点为 (4, 1)、(4, 3) 和 (5, 1)。
完整描述把 A 映射到 B 的单一变换。
- 两个三角形形状和大小相同（直角边为 2 和 1），所以是等距变换，不是放大。
- 方向不变，B 是 A 平移过来的，没有旋转或翻转，所以是平移。
- 取一个顶点：(1, 1) → (4, 1)，x 变化 +3，y 变化 0，故向量为 (3, 0)。
- 完整描述：按列向量 (3, 0) 平移，即向右 3 个单位。
- 检验另一个顶点：(1, 3) + (3, 0) = (4, 3)，与 B 相符。✓
第二个例题（略有变化）
图形大小相同但被转动，所以是旋转，你必须找出中心和角度。 三角形 P 的顶点为 (1, 1)、(4, 1) 和 (1, 2)。
三角形 Q 的顶点为 (−1, 1)、(−1, 4) 和 (−2, 1)。完整描述把 P 映射到 Q 的单一变换。
- 两个三角形大小相同，所以是等距变换，不是放大。
- 方向已转动（P 指向右，Q 指向上），所以是旋转，而非平移或反射。
- 试以原点为中心：逆时针 90° 旋转把 (x, y) → (−y, x)。检验 (1, 1) → (−1, 1) ✓，(4, 1) → (−1, 4) ✓。
- 完整描述：绕中心 (0, 0) 逆时针旋转 90°。
- 检验最后一个顶点：(1, 2) → (−2, 1)，与 Q 相符。✓
你可能需要的公式
k = PA'/PA
考试提供area of image = k2 × area of object
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常见问题
当旋转和反射都改变方向时，怎么区分？
反射会翻转图形，像镜像一样前后颠倒；旋转只是转动，保持同样的手性。按顺序描出顶点：若其顺时针或逆时针方向反转，就是反射；若方向不变，则是旋转。
如果描述中漏掉一个细节会扣分吗？
会。每种变换都需要完整细节：平移需向量，反射需对称轴方程，旋转需中心、角度和方向，放大需中心和比例因子。
即使类型答对，漏掉任何一项通常都会失一分。
怎么找旋转的中心？
把每个物点与其像相连，作每条连线的垂直平分线。平分线的交点就是中心。
考试时常可先试一个可能的中心（如原点），再检验某个顶点映射正确来确认角度。