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二元线性不等式 · 中四

二元线性不等式：练习题

二元线性不等式 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

二元线性不等式 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

在笛卡儿平面上画出不等式 y ≤ 2x + 1。哪一项正确描述其边界线和阴影区域？

  1. A. 虚线，区域在线的上方
  2. B. 实线，区域在线的下方
  3. C. 虚线，区域在线的下方
  4. D. 实线，区域在线的上方

题 2

下列哪个点满足不等式 3x − 2y > 6？

  1. A. (0, 0)
  2. B. (4, 1)
  3. C. (1, 1)
  4. D. (2, 3)

题 3

在一个礼堂里，x 是成人人数，y 是儿童人数。成人人数至少是儿童人数的两倍。

哪个不等式表示这个情况？

  1. A. x ≥ 2y
  2. B. y ≥ 2x
  3. C. x ≤ 2y
  4. D. 2x ≥ y

题 4

一条边界线经过 (0, 4) 和 (2, 0)。线下方（不含该线）的区域满足哪个不等式？

  1. A. 2x + y < 4
  2. B. 2x + y ≤ 4
  3. C. 2x + y > 4
  4. D. x + 2y < 4

题 5

下列哪个不等式的边界线画成虚线？

  1. A. y ≥ x
  2. B. y ≤ 3
  3. C. x + y > 5
  4. D. 2x − y ≤ 0

题 6

哪个点位于由方程组 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 6 和 y ≤ 2x 所定义的区域内？

  1. A. (1, 4)
  2. B. (3, 2)
  3. C. (5, 3)
  4. D. (2, 5)

题 7

一个可行区域的顶点为 (0, 0)、(4, 0)、(2, 3) 和 (0, 5)。P = 4x + 3y 在此区域内的最大值是多少？

  1. A. 15
  2. B. 16
  3. C. 17
  4. D. 19

题 8

一个可行区域的顶点为 (1, 1)、(5, 1)、(5, 4) 和 (2, 6)。C = 2x + 5y 在此区域内的最小值是多少？

  1. A. 5
  2. B. 7
  3. C. 15
  4. D. 30

题 9

一间工坊制作 x 张椅子和 y 张桌子。每张椅子需要 2 小时，每张桌子需要 5 小时，最多有 40 个工作小时。

哪个不等式表示时间约束？

  1. A. 2x + 5y ≤ 40
  2. B. 2x + 5y ≥ 40
  3. C. 5x + 2y ≤ 40
  4. D. 2x + 5y < 40

题 10

在笛卡儿平面上，哪一项描述符合 x ≥ −1 的图形？

  1. A. 在垂直线 x = −1 上或其右侧的所有点
  2. B. 在垂直线 x = −1 上或其左侧的所有点
  3. C. 在水平线 y = −1 上或其上方的所有点
  4. D. 在 x = −1 右侧（不含该线）的所有点

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

一名裁缝每周制作 x 套校服和 y 套运动服。情况由三个条件描述：她总共至少制作 20 套服装；运动服的数量最多是校服数量的 3 倍；她制作的运动服不超过 15 套。

(a) 除了 x ≥ 0 和 y ≥ 0 以外，写出三个不等式来表示这些条件。(b) 通过检验每个不等式，判断点 (10, 12) 是否位于可行区域内。

  1. (a) ‘总共至少 20 套’得 x + y ≥ 20。
  2. (a) ‘运动服最多是校服的 3 倍’得 y ≤ 3x。
  3. (a) ‘运动服不超过 15 套’得 y ≤ 15。
  4. (b) 检验 x + y ≥ 20：10 + 12 = 22 ≥ 20，成立。
  5. (b) 检验 y ≤ 3x：12 ≤ 3(10) = 30，成立。
  6. (b) 检验 y ≤ 15：12 ≤ 15，成立。三者都成立，所以 (10, 12) 位于可行区域内。

题 2 (7 分)

一家面包店一天制作 x 千克牛油蛋糕和 y 千克巧克力蛋糕。当天生产的可行区域的顶点为 A(0, 0)、B(20, 0)、C(15, 10) 和 D(0, 18)。

每千克牛油蛋糕利润为 RM 8，每千克巧克力蛋糕利润为 RM 12。(a) 用 x 和 y 写出利润函数 P。

(b) 计算四个顶点处的利润。(c) 说明使利润最大的每种蛋糕的数量，并说明该最大利润。

  1. (a) 利润 = 每千克牛油蛋糕 8 + 每千克巧克力蛋糕 12，所以 P = 8x + 12y。
  2. (b) 在 A(0, 0)：P = 8(0) + 12(0) = RM 0。
  3. (b) 在 B(20, 0)：P = 8(20) + 12(0) = RM 160。
  4. (b) 在 C(15, 10)：P = 8(15) + 12(10) = 120 + 120 = RM 240。
  5. (b) 在 D(0, 18)：P = 8(0) + 12(18) = RM 216。
  6. (c) 最大值 RM 240 出现在 C(15, 10)。

题 3 (6 分)

某阴影区域的边界是一条经过点 (0, 6) 和 (4, 0) 的直线。阴影区域位于线下方且不包含该线。

(a) 求边界线的方程。(b) 写出表示阴影区域的不等式。

(c) 判断点 (2, 2) 是否位于阴影区域内。

  1. (a) 斜率 = (0 − 6) ÷ (4 − 0) = −6/4 = −3/2，y 截距为 6，所以 y = −3/2 x + 6。
  2. (a) 两边乘以 2：2y = −3x + 12，整理得 3x + 2y = 12。
  3. (b) 区域在线下方且不含该线，所以用严格的 “<”：3x + 2y < 12。
  4. (c) 代入 (2, 2)：3(2) + 2(2) = 6 + 4 = 10。
  5. (c) 由于 10 < 12 成立，点 (2, 2) 位于阴影区域内。

题 4 (7 分)

一名学生有 RM 24 用来购买 x 本笔记本（每本 RM 3）和 y 个文件夹（每个 RM 4）。他想要至少 2 本笔记本、至少 1 个文件夹，且文件夹的数量不超过笔记本的数量。

(a) 除了 x ≥ 0 和 y ≥ 0 以外，写出四个不等式来表示这个情况。(b) 如果他恰好买 4 本笔记本，求他最多能买多少个文件夹。

  1. (a) 总花费最多 RM 24：3x + 4y ≤ 24。
  2. (a) 至少 2 本笔记本：x ≥ 2。
  3. (a) 至少 1 个文件夹：y ≥ 1。
  4. (a) 文件夹不超过笔记本：y ≤ x。
  5. (b) 将 x = 4 代入 3x + 4y ≤ 24：12 + 4y ≤ 24，所以 4y ≤ 12，得 y ≤ 3。
  6. (b) 其他条件 y ≥ 1 和 y ≤ x = 4 在 y = 3 时都满足，所以最多能买 3 个文件夹。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套二元线性不等式练习中，第一卷和第二卷的题目有什么不同？

第一卷是选择题，考核你能否快速把不等式与其图形区域配对。第二卷则要求你画出直线、为两个或三个不等式同时正确涂上阴影区域，并清楚说明该区域，这正是第二卷按完整解题步骤给分所看重的。

为什么应该自己先做题，再看详解？

为一组线性不等式画出并涂对区域，需要练习判断该在直线哪一侧涂色、以及区域重叠的地方在哪里。自己先动手做，才能看出你是否能从零开始画出这张图，而不是看到画好的图才认出它是对的。

二元线性不等式题目中常见的错误有哪些？

学生常常涂错直线的一侧、该用虚线时用了实线（或相反），或者忘了要找出同时满足所有不等式的区域。这套练习就是为了在真正考试扣分之前先发现这些疏漏而设计的。

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