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逻辑推理 · 中四

逻辑推理：练习题

逻辑推理 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

逻辑推理 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

下列哪一个句子是陈述？

  1. A. 7 是质数吗？
  2. B. 请关上窗户。
  3. C. 9 是 3 的倍数。
  4. D. x + 2 = 5

题 2

下列哪一个陈述是假的？

  1. A. 2³ = 8
  2. B. −5 < −2
  3. C. 0.5 是有理数
  4. D. 7 是 30 的因数

题 3

陈述 “18 能被 5 整除” 的否定是什么？

  1. A. 18 能被 5 整除
  2. B. 18 不能被 5 整除
  3. C. 5 能被 18 整除
  4. D. 18 能被 3 整除

题 4

哪一个量词使陈述 “____ 10 的倍数是偶数” 为真？

  1. A. 所有
  2. B. 有些 …… 不是
  3. C. 没有
  4. D. 只有一个

题 5

已知两个陈述 p：“15 > 9” 和 q：“15 是 4 的倍数”，确定 “p 且 q” 的真值。

  1. A. 真，因为 p 为真
  2. B. 假，因为 q 为假
  3. C. 真，因为至少一个为真
  4. D. 假，因为两者都为假

题 6

已知 p：“4 是 20 的因数” 和 q：“4 是 14 的因数”，确定 “p 或 q” 的真值。

  1. A. 真
  2. B. 假
  3. C. 无法确定
  4. D. 只有两部分都为真时才为真

题 7

考虑蕴含 “如果一个数是 9 的倍数，那么它是 3 的倍数。” 前件是什么？

  1. A. 一个数是 9 的倍数
  2. B. 它是 3 的倍数
  3. C. 一个数是 3 的倍数
  4. D. 它不是 9 的倍数

题 8

蕴含 “如果 x 是 6 的倍数，那么 x 是 2 的倍数” 的逆命题是什么？

  1. A. 如果 x 是 2 的倍数，那么 x 是 6 的倍数
  2. B. 如果 x 不是 6 的倍数，那么 x 不是 2 的倍数
  3. C. 如果 x 是 6 的倍数，那么 x 是 2 的倍数
  4. D. x 是 6 的倍数且是 2 的倍数

题 9

两个蕴含 “如果 m 是偶数，那么 m² 是偶数” 和 “如果 m² 是偶数，那么 m 是偶数” 可以合并成一个陈述。是哪一个陈述？

  1. A. m 是偶数当且仅当 m² 是偶数
  2. B. 如果 m 是偶数，那么 m² 是奇数
  3. C. m 是偶数且 m² 是偶数
  4. D. 如果 m 是奇数，那么 m² 是偶数

题 10

前提 1：如果一个数是 12 的倍数，那么它是 4 的倍数。前提 2：数 18 不是 4 的倍数。

哪一个是有效的结论？

  1. A. 18 不是 12 的倍数
  2. B. 18 是 12 的倍数
  3. C. 18 是 4 的倍数
  4. D. 18 是 3 的倍数

结构题（试卷二风格）

题 1 (5 分)

考虑陈述：“如果一个数 n 是 8 的倍数，那么 n 是 4 的倍数。” (a) 写出这个蕴含的前件和后件。

(b) 写出这个蕴含的逆命题。(c) 判断这个逆命题是真还是假。

举一个例子支持你的答案。

  1. 蕴含的形式是 “如果 p，那么 q”，所以前件是 p = “n 是 8 的倍数”，后件是 q = “n 是 4 的倍数”。
  2. “如果 p，那么 q” 的逆命题是 “如果 q，那么 p”，即交换 p 和 q。
  3. 逆命题：“如果 n 是 4 的倍数，那么 n 是 8 的倍数。”
  4. 用 n = 12 检验逆命题：12 是 4 的倍数（12 ÷ 4 = 3），但 12 不是 8 的倍数（12 ÷ 8 = 1.5）。
  5. 由于存在反例，逆命题为假。

题 2 (4 分)

完成每个论证，写出它的结论，并说明论证形式（形式 I、II 或 III）。(a) 前提 1：所有 10 的倍数都能被 5 整除。

前提 2：80 是 10 的倍数。结论：______ (b) 前提 1：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边都相等。

前提 2：四边形 ABCD 是正方形。结论：______

  1. (a) 使用模式 “所有 A 是 B；C 是 A；所以 C 是 B”，这是论证形式 I。
  2. 应用它：因为 80 是 10 的倍数且所有 10 的倍数都能被 5 整除，结论是 “80 能被 5 整除”。
  3. (b) 使用模式 “如果 p，那么 q；p 为真；所以 q 为真”，这是论证形式 II（肯定前件式）。
  4. 应用它，p = “ABCD 是正方形”（真）：结论是 “ABCD 的四条边都相等”。

题 3 (4 分)

研究以下数列规律：1 = 3(1) − 2，4 = 3(2) − 2，7 = 3(3) − 2，10 = 3(4) − 2。(a) 用归纳法对规律中的数作出一般结论，用 n 表示，其中 n = 1, 2, 3, ...（b) 据此，求规律中的第 15 个数。

  1. 每一行中，这个数等于 3 ×（行号）− 2，而行号就是 n。
  2. 由归纳法，一般结论是：数 = 3n − 2，其中 n = 1, 2, 3, ...
  3. 求第 15 个数，代入 n = 15：3(15) − 2 = 45 − 2 = 43。

题 4 (6 分)

给定两个陈述：p：6 是 24 的因数。q：6 是质数。

(a) 说明理由，判断 p 是真还是假，以及 q 是真还是假。(b) 写出复合陈述 “p 且 q” 并确定它的真值。

(c) 写出复合陈述 “p 或 q” 并确定它的真值。

  1. p：24 ÷ 6 = 4，是整数，所以 6 是 24 的因数；p 为真。
  2. q：6 = 2 × 3 除了 1 和它本身还有其他因数，所以 6 不是质数；q 为假。
  3. “p 且 q”：“6 是 24 的因数且 6 是质数。” 用 “且” 连接的陈述只有两部分都为真时才为真；因为 q 为假，“p 且 q” 为假。
  4. “p 或 q”：“6 是 24 的因数或 6 是质数。” 用 “或” 连接的陈述只要至少一部分为真就为真；因为 p 为真，“p 或 q” 为真。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套逻辑推理练习中，第一卷和第二卷的题目有什么不同？

第一卷是选择题，快速考核陈述句、蕴涵和量词的理解。第二卷则要求完整写出推理过程，组成复合陈述句、检验论证是否有效，并按部就班完成真值表，这符合第二卷按解题步骤给分的方式。

为什么应该自己先做题，再看详解？

自己动手做逻辑推理题，能培养在考试情境下正确辨认量词和蕴涵关系的习惯。如果先看详解，论证的有效性会显得理所当然，掩盖了你在真正的1449/2试题中会遇到的推理盲点。

学生在逻辑推理题目上常犯什么错误？

常见错误包括把陈述句的逆命题和逆否命题搞混、误读复合陈述句中的“且”与“或”、以及只凭一个成立的例子就当作证明，而不去检查反例。这套练习正是为了在真正考试前暴露这些疏漏而设计的。

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