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全等、放大与复合变换 · 中五

全等、放大与复合变换：练习题

全等、放大与复合变换 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

全等、放大与复合变换 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

两个三角形全等的条件是它们具有相同的

  1. A. 仅形状相同
  2. B. 仅大小相同
  3. C. 形状和大小都相同
  4. D. 仅面积相同

题 2

一个面积为 12 cm² 的物件以比例因子 3 放大，像的面积是

  1. A. 36 cm²
  2. B. 72 cm²
  3. C. 108 cm²
  4. D. 144 cm²

题 3

在放大变换下，长 4 cm 的线段变为 10 cm，比例因子是

  1. A. 2
  2. B. 2.5
  3. C. 3
  4. D. 4

题 4

点 P(2, 3) 以原点为中心、比例因子 2 放大，像 P' 是

  1. A. (4, 6)
  2. B. (2, 6)
  3. C. (4, 3)
  4. D. (6, 9)

题 5

在放大变换下，像的面积是物件面积的 4 倍，比例因子是

  1. A. 1
  2. B. 2
  3. C. 4
  4. D. 8

题 6

一个放大变换以 O(0, 0) 为中心、比例因子 ½。一个面积 48 cm² 的正方形，其像的面积是

  1. A. 6 cm²
  2. B. 12 cm²
  3. C. 24 cm²
  4. D. 96 cm²

题 7

点 P(2, −3) 绕原点旋转 180°,像是

  1. A. (−2, 3)
  2. B. (−2, −3)
  3. C. (2, 3)
  4. D. (3, −2)

题 8

一个放大变换以 O 为中心、比例因子 −2。若 OA = 3 cm，则 OA'(到像 A')是

  1. A. 6 cm,O 的同侧
  2. B. 6 cm,O 的异侧
  3. C. 1.5 cm,O 的异侧
  4. D. 3 cm,O 的同侧

题 9

依次以平行线 x = 1 和 x = 4 作两次反射，等同于一个单一的

  1. A. 旋转
  2. B. 平移
  3. C. 放大
  4. D. 反射

题 10

一个面积 5 cm² 的三角形在放大变换下的像面积为 45 cm²,比例因子是

  1. A. 3
  2. B. 6
  3. C. 9
  4. D. 15

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

三角形 ABC 的顶点为 A(1, 2)、B(3, 2) 和 C(3, 5)。一个放大变换以原点 O(0, 0) 为中心、比例因子 2。

(a) 求像 A'、B'、C' 的坐标。 (b) 求三角形 ABC 的面积。

(c) 据此利用面积关系求像三角形 A'B'C' 的面积。

  1. (a) 以 O 为中心，每个坐标乘以 k = 2。
  2. A' = (1×2, 2×2) = (2, 4)。
  3. B' = (3×2, 2×2) = (6, 4)。
  4. C' = (3×2, 5×2) = (6, 10)。
  5. (b) AB 水平，长 3 − 1 = 2;BC 竖直，长 5 − 2 = 3；直角在 B 处。
  6. 三角形 ABC 面积 = ½ × 底 × 高 = ½ × 2 × 3 = 3 cm²。
  7. (c) 像的面积 = k² × 物件面积 = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 cm²。

题 2 (5 分)

一个放大变换以 C(2, 1) 为中心、比例因子 3。 (a) 求点 P(4, 3) 的像 P'。

(b) 一个多边形面积为 8 cm²。求它在此放大变换下的像的面积。

  1. (a) 像 = C + k(P − C)，对每个坐标应用。
  2. x' = 2 + 3(4 − 2) = 2 + 3(2) = 2 + 6 = 8。
  3. y' = 1 + 3(3 − 1) = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7。
  4. 所以 P' = (8, 7)。
  5. (b) 像的面积 = k² × 物件面积 = 3² × 8 = 9 × 8 = 72 cm²。

题 3 (6 分)

变换 V 是关于 y 轴的反射。变换 W 是平移 (4, 0)，即向右 4 单位。

(a) 点 A(2, 5) 先经 V 再经 W。求最终像的坐标。

(b) 第二点 B(−3, 1) 先经 W 再经 V。求其最终像的坐标。

(注意 (a) 与 (b) 两个组合变换的顺序不同。)

  1. (a) 先应用 V：关于 y 轴反射将 (x, y) 映为 (−x, y)，所以 A(2, 5) → (−2, 5)。
  2. 再应用 W:x 坐标加 4,(−2, 5) → (−2 + 4, 5) = (2, 5)。
  3. A 的最终像是 (2, 5)。
  4. (b) 先应用 W:B(−3, 1) → (−3 + 4, 1) = (1, 1)。
  5. 再应用 V：关于 y 轴反射，(1, 1) → (−1, 1)。
  6. B 的最终像是 (−1, 1)。

题 4 (5 分)

一个放大变换以原点 O(0, 0) 为中心、比例因子 −2。 (a) 求点 P(3, 1) 的像。

(b) 一个图形面积为 6 cm²。求其像的面积。

(c) 说出该像在位置上与比例因子 +2 的放大变换相比的一处不同。

  1. (a) 以 O 为中心，每个坐标乘以 k = −2。
  2. P' = (−2 × 3, −2 × 1) = (−6, −2)。
  3. (b) 面积取决于 k²:像的面积 = k² × 面积 = (−2)² × 6 = 4 × 6 = 24 cm²。
  4. (c) 因为 k 为负，像位于中心 O 与物件相反的一侧(并通过 O 倒转)，而 k = +2 时像与物件同侧。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套全等、放大与组合变换练习题包含什么？

这套练习题包括第一卷判断图形是否全等或找出放大比例因子的题目，以及第二卷绘制经组合变换后图像的结构式题目。所有题目均为本网站原创练习，并非取自历届SPM真题。

为什么要先自己尝试作图再对照详解？

先自己画出变换图形，即使最终图形不太准确，也能清楚看出你对变换顺序的理解出在哪里。若先看解答再作答，就失去了这种有用的摸索过程，会让这个课题在考场上显得比实际更难应付。

组合变换中常见的错误是什么？

学生常常把两个变换的先后顺序做反，导致最终图像出错。应先进行靠近原图形的变换，清楚标注每一步形成的图像，并对照详解检查放大比例因子和放大中心是否正确。

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