全等、放大与复合变换
如何求比例因子与像的面积
用它求放大的比例因子，并算出放大后像的面积。
开始之前
- 用长度的乘除来比较两个图形
- 对数（含分数和负数）求平方
- 看懂比例图或坐标网格
何时使用
用它求放大的比例因子，并算出放大后像的面积。
步骤
- 在物体与像上找一对对应的长度。
- 用像的长度除以物体的长度，得比例因子 k。
- 检查符号：k 为负表示像在中心的另一侧。
- 求面积用所给法则：像的面积 = k² × 物体的面积。
- 若题目要求完整描述，清楚写出放大中心。
例题
在以 O 为中心的放大下，一个底边为 3 cm、面积为 8 cm² 的三角形被映射为底边 9 cm 的像。求比例因子和像的面积。
- 对应长度：物底 = 3 cm，像底 = 9 cm。
- 比例因子 k = 像 ÷ 物 = 9 ÷ 3 = 3。
- 像与物在 O 的同一侧，所以 k 为正：k = 3。
- 像的面积 = k² × 物的面积 = 3² × 8 = 9 × 8 = 72 cm²。
- 完整描述：比例因子为 3、中心为 O 的放大。
第二个例题（略有变化）
像更小且位于中心的另一侧，得到一个负的分数比例因子。 在以 P 为中心的放大下，一个长边为 8 cm、面积为 40 cm² 的矩形被映射为对应边 4 cm、且位于 P 另一侧的像。
求比例因子和像的面积。
- 对应长度：物边 = 8 cm，像边 = 4 cm。
- 比例因子 k = 像 ÷ 物 = 4 ÷ 8 = ½。
- 像在 P 的另一侧，所以 k 为负：k = −½。
- 像的面积 = k² × 物的面积 = (−½)² × 40 = ¼ × 40 = 10 cm²。
- 完整描述：比例因子为 −½、中心为 P 的放大。
你可能需要的公式
k = PA'/PA
考试提供area of image = k2 × area of object
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常见问题
为什么面积要乘以 k² 而不是只乘 k？
因为面积是二维的。放大使每条长度变为 k 倍，而面积取决于两条长度（如底乘高），所以它扩大 k × k = k² 倍。
k = 3 时长度变 3 倍，但面积变 9 倍，而非 3 倍。
负的比例因子会改变面积吗？
不会。负的 k 只是把像放到中心的另一侧；面积仍用 k²。
平方会消去负号，所以 (−½)² = ¼，与 (½)² 完全相同。面积始终写成正值。
我怎么知道像在中心的哪一侧？
从中心经过一个物点画一条直线。若像点与物点在同一侧，k 为正；若落在中心的另一侧，k 为负。
题目中的图形通常会清楚显示这一点。